2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于________．

已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于________．

admin2019-02-02  32
问题 已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于________．
选项
答案t=－1／2．
解析 本题可以用定义做，但是表述比较啰嗦，用秩比较简单．证明α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关就是要证明其秩小于3．
记矩阵A=(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)．用矩阵分解，有

由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，
r(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)=r(A)=r(C)．
于是α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关<=>r(C)＜3<=>｜C｜=0．
求出｜C｜=1+8t3，于是得8t3=－1，t=－1／2．
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考研数学二

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