2. 考研
  3. (1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f′(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明： ｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f″(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明： ｜f′(

(1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f′(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明： ｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f″(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明： ｜f′(

admin2019-09-27  46
问题 (1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f′(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：
｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．
(2)设f(x)在[a，b]上二阶可导，｜f″(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：
｜f′(a)｜+｜f′(b)｜≤M(b－a)．
选项
答案(1)由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，2)，使得 f(c)－f(0)=f′(ξ1)c， f(2)－f(c)=f′(ξ2)(2－c)， 于是｜f(0)｜=｜f′(ξ1)｜c≤Mc，｜f(2)｜=｜f′(ξ2)｜(2－c)≤M(2－c)， 故｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f′(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f′(c)－f′(a)=f″(ξ1)(c－a)， f′(b)－f′(c)=f″(ξ2)(b－c)， 于是｜f′(a)｜=｜f″(ξ1)｜(c－a)≤M(c－a)， ｜f′(b)｜=｜f″(ξ2)｜(b－c)≤M(b－c)， 故｜f′(a)｜+｜f′(b)｜≤M(b－a)．
解析
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考研数学一

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