2. 考研
  3. 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为

设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为

admin2021-01-15  8
问题 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为
选项 A、+k1(η2—η1)．
B、+k1(η2—η1)．
C、+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．
D、+k1(η2—η1)+k2(η3—η1)．   
答案C
解析 首先，由A[(η2+η3)]=β，知(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2—η1及η3—η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由
　　[η2—η1，η3—η1]=[η1，η2，η3]
　　及矩阵的秩为2，知向量组η2—η1，η3—η1线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3一r(A)=3，→r(A)=0，→A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2—η1，η3—η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2—η1)+k2(η3—η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．
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考研数学一

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