2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f’(x)＞k＞0(k为常数)，又f(a)＜0，证明方程f(x)=0在内有唯一的实根．

设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f’(x)＞k＞0(k为常数)，又f(a)＜0，证明方程f(x)=0在内有唯一的实根．

admin2021-02-25  50
问题 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且f’(x)＞k＞0(k为常数)，又f(a)＜0，证明方程f(x)=0在内有唯一的实根．
选项
答案在区间[*]上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有 [*] 由于f(a)＜0，f’(x)＞k＞0，所以 [*] 由零点定理知[*]，使f(ξ)=0．再由f’(x)＞0知，f(x)在[*]上是单调增加的，故方程f(x)=0在[*]内有唯一的实根．
解析 应用闭区间上连续函数的零点定理证明方程f(x)=0在[a，b]上有根，关键条件是f(a)f(b)＜0．本题应讨论的符号．
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考研数学二

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