(14)设A=，E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-08-01 37

问题 (14)设A=

，E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；
(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

选项

答案(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换 [*] 设x=(x₁，x₂，x₃，x₄)^T，选取x₄为自由未知量，则得方程组的一般解：x₁=-x₄，x₂=2x₄，x₃=3xx₄(x₄任意)．令x₄=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为 α=(-1，2，3，1)^T (Ⅱ)对矩阵[A┆E]施以初等行变换 [*] 记E=[e₁，e₂，e₃]，则方程组Ax=e₁的同解方程组为[*]，从而得Ax=e₁的通解为x=k₁α+[*]，k₁为任意常数，同理得方程组Ay=e₂的通解为y=k₂α+[*]，k₂为任意常数，方程组Ax=e₃的通解为z=k₃α+[*]，k₃为任意常数，于是得所求矩阵为 B=[x，y，z]=[*]+[k₁α，k₂α，k₃α] 或 [*] k₁，k₂，k₃为任意常数．

解析

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考研数学二

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