设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x—y=0平行. 是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;

admin2019-08-05  7

问题 设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x—y=0平行.
是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;

选项

答案k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根,设h(x)=f(x)一g(x)=(x+1)lnx一[*],当x∈(0,1]时,h(x)<0,又∵h(2)=3ln2一[*]>1—1=0,所以存在x0∈(1,2),使h(x0)=0. 因为h(x)=lnx+[*]所以当x∈(1,2)时,h(x)>1一[*]>0,当x∈(2,+∞)时,h(x)>0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增,所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.

解析
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