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  3. 设a1＞b1＞0，记 证明：数列{an}与{bn}的极限都存在且等于

设a1＞b1＞0，记 证明：数列{an}与{bn}的极限都存在且等于

admin2022-10-31  45
问题 设a1＞b1＞0，记
   
    证明：数列{an}与{bn}的极限都存在且等于
选项
答案显然an＞0，bn＞0(n=1，2，…)．于是，当n=2,3，…时， an-bn=[*]＞0， 由题设知a1＞b1，所以对一切n∈N+都有an＞bn． an=[*] 即{an}递减，并且0是{an}的一个下界． bn+1-bn=[*] 即{bn}递增．由bn＜an＜a1知，a1是{bn}的一个上界． 由单调有界定理知，{an}．{bn}的极限都存在，设[*]的两边同时取极限，得到a=[*](a+b)，即a=b．又由 anbn=[*]=an-1bn-1，得anbn=an-1bn-1=…=a1b1． 对anbn=a1b1两边取极限得ab=a1b1，所以a=b=[*]．即数列{an}与{bn}的极限都存在且等于[*]．
解析
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考研数学三

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