设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

admin2018-04-18 35

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX=0的一个解，但是A^k－1α≠0．证明α，Aα，…，A^k－1α线性无关．

选项

答案用定义证明．方法一设c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0，要推出每个c_i=0．先用A^k－1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα=0(因为A^kX=0)，得到c₁A^k－1α=0．又因为A^k－1α≠0，所以c₁=0．上式变为c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0．再用A^k－2乘之，可得到c₂=0．如此进行下去，可证明每个c_i=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，A^k－1α线性相关，则存在不全为0的c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k－1α=0，设其中第一个不为0的系数是c_i，则c_iA^i－1α+…+c_kA^k－1α=0，用A^k－i乘之，得c_iA^k－1α=0．从而A^k－1α=0，与条件矛盾．

解析

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考研数学二

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设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

考研数学二

A、 B、 C、 D、 C

[*]

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．求a，b的值及方程组的通解．

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已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则

当x＝1，且(1)△x＝1，(2)△x＝0．1，(3)△x＝0．01时，分别求出函数f(x)＝x2－3x＋5的改变量及微分，并加以比较，是否能得出结论：当△x愈小时，二者愈近似．

已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定．设z=f(lny-sinx)，

设，A是A的伴随矩阵，则(A)-1=_________．

求极限

编码

属于上层文化的是、、。

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国务院批准公布的重要地理信息数据，由()公布。

是否具备工作职位所需要的能力和熟练程度是考虑到潜在人员的()。

阀门壳体压力试验和密封试验应以洁净水为介质，不锈钢阀门试验时水中的氯离子含量不得超过()ppm。

与简历相比，单位设计的申请表往往()。

根据《中华人民共和国教育法》规定，少数民族学生为主的学校及其他教育机构()。

现有一个无限容积的杯子，先加入1克糖，再加入2克水，再加入3克糖，再加入4克水……如此反复，问杯子中糖浓度趋近于多少?

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求极限

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