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设A是n阶矩阵,k为正整数,α是齐次方程组AkX=0的一个解,但是Ak-1α≠0.证明α,Aα,…,Ak-1α线性无关.
设A是n阶矩阵,k为正整数,α是齐次方程组AkX=0的一个解,但是Ak-1α≠0.证明α,Aα,…,Ak-1α线性无关.
admin
2018-04-18
57
问题
设A是n阶矩阵,k为正整数,α是齐次方程组A
k
X=0的一个解,但是A
k-1
α≠0.证明α,Aα,…,A
k-1
α线性无关.
选项
答案
用定义证明. 方法一 设c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0,要推出每个c
i
=0. 先用A
k-1
乘上式两边,注意到当m≥k时,A
m
α=0(因为A
k
X=0),得到c
1
A
k-1
α=0.又因为A
k-1
α≠0,所以c
1
=0.上式变为c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0.再用A
k-2
乘之,可得到c
2
=0.如此进行下去,可证明每个c
i
=0. 方法二 用反证法.如果α,Aα,…,A
k-1
α线性相关,则存在不全为0的c
1
,c
2
,…,c
k
,使得c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0,设其中第一个不为0的系数是c
i
,则c
i
A
i-1
α+…+c
k
A
k-1
α=0,用A
k-i
乘之,得c
i
A
k-1
α=0.从而A
k-1
α=0,与条件矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AVk4777K
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