已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量． ③求A*一6E的秩．

admin2016-07-29 102

问题已知A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量组，满足Aα₁=一α₁—3α₂—3α₃，Aα₂=4α₁+4α₂+α₃，Aα₃=一2α₁+3α₃．
①求A的特征值．
②求A的特征向量．
③求A^*一6E的秩．

选项

答案①记P=(α₁，α₂，α₃)，因为α₁，α₂，α₃是线性无关，所以P是可逆矩阵． AP=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(一α₁一3α₂—3α₃，4α₁+4α₂+α₃，一2α₁+3α₃) [*] 得A的特征值为1，2，3． ②思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P^一1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．) 对于特征值1： [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B一E)x=0的非零解)为c(1，1，1)^T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α₁+α₂+α₃)^T，c≠0．对于特征值2： [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)^T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α₁+3α₂+3α₃)^T，c≠0．对于特征值3： [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)^T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α₁+3α₂+4α₃)^T，c≠0． ③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A^*的特征值为6，3，2，A^*一6E的特征值为0，一3，一4． [*]

解析

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考研数学三

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已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量． ③求A*一6E的秩．

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