设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．

admin2017-06-14 44

问题设A是n阶方阵，证明：AⁿX=0和Aⁿ⁺¹X=0是同解方程组．

选项

答案显然AⁿX=0的解必是Aⁿ⁺¹X=0的解．反之：若Aⁿ⁺¹X=0，则必有AⁿX=0，用反证法，若AⁿX≠0，则必有A^n－1X≠0，A^n－2X≠0，…，AX≠0，X≠0，上述n+1个n维向量必线性相关，故存在不全为0的数k₁，k₂，…，k_n+1使得 k₁X+k₂AX+…+k_n+1AⁿX=0． ① ①式左乘Aⁿ得 k₁AⁿX=0， AⁿX≠0得， k₁=0． k₁=0代入①式，再乘A^n－1，可得 k₂=0，同理有尼 k_i=0，i=1，2，…，n+1，这和 k₁，k₂，…， k_n+1不全为0矛盾，故必有AⁿX=0．从而得证：AⁿX=0和Aⁿ⁺¹X=0是同解方程组．

解析

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