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设A是n阶方阵,证明:AnX=0和An+1X=0是同解方程组.
设A是n阶方阵,证明:AnX=0和An+1X=0是同解方程组.
admin
2017-06-14
43
问题
设A是n阶方阵,证明:A
n
X=0和A
n+1
X=0是同解方程组.
选项
答案
显然A
n
X=0的解必是A
n+1
X=0的解.反之:若A
n+1
X=0,则必有A
n
X=0, 用反证法,若A
n
X≠0,则必有A
n-1
X≠0,A
n-2
X≠0,…,AX≠0,X≠0,上述n+1个n维向量必线性相关,故存在不全为0的数k
1
,k
2
,…,k
n+1
使得 k
1
X+k
2
AX+…+k
n+1
A
n
X=0. ① ①式左乘A
n
得 k
1
A
n
X=0, A
n
X≠0得, k
1
=0. k
1
=0代入①式,再乘A
n-1
,可得 k
2
=0,同理有尼 k
i
=0,i=1,2,…,n+1,这和 k
1
,k
2
,…, k
n+1
不全为0矛盾,故必有A
n
X=0. 从而得证:A
n
X=0和A
n+1
X=0是同解方程组.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Apu4777K
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考研数学一
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