证明：已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1＋α2＋α3仍是A的特征向量，则λ1＝λ2＝λ3．

admin2016-05-09 24

问题证明：已知λ₁，λ₂，λ₃是A的特征值，α₁，α₂，α₃是相应的特征向量且线性无关，如α₁＋α₂＋α₃仍是A的特征向量，则λ₁＝λ₂＝λ₃．

选项

答案若α₁＋α₂＋α₃是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即 A(α₁＋α₂＋α₃)＝λ(α₁＋α₂＋α₃)．又A(α₁＋α₂＋α₃)＝Aα₁＋Aα₂＋Aα₃＝λ₁α₁＋λ₂α₂＋λ₃α₃，于是有 (λ－λ₁)α₁＋(λ－λ₂)α₂＋(λ－λ₃)α₃＝0．因为α₁，α₂，α₃线性无关，故λ－λ₁＝0，λ－λ₂＝0，λ－λ₃＝0．即λ₁＝λ₂＝λ₃．

解析

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考研数学一

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