设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

admin2017-07-26 71

问题设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P^—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．

选项

答案必要性是显然的，下面证明充分性．设A与B有相同的特征多项式，则A与B有相同的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A、B都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵Q₁，Q₂，使得 Q₁^—1AQ₁=[*]=Q₂^—1BQ₂，故 B=Q₂[*]Q₂^—1=Q₂(Q₁^—1AQ₁)Q₂^—1=(Q₁Q₂^—1)^—1A(Q₁Q₂^—1)．令矩阵P=Q₁Q₂^—1，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知P为正交矩阵，且使B=PAP，故充分性得证．

解析

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