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设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
admin
2017-07-26
109
问题
设A、B都是n阶实对称矩阵,证明:存在正交矩阵P,使得P
—1
AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.
选项
答案
必要性是显然的,下面证明充分性. 设A与B有相同的特征多项式,则A与B有相同的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A、B都是实对称矩阵,故存在适当的正交矩阵Q
1
,Q
2
,使得 Q
1
—1
AQ
1
=[*]=Q
2
—1
BQ
2
, 故 B=Q
2
[*]Q
2
—1
=Q
2
(Q
1
—1
AQ
1
)Q
2
—1
=(Q
1
Q
2
—1
)
—1
A(Q
1
Q
2
—1
). 令矩阵P=Q
1
Q
2
—1
,则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,知P为正交矩阵,且使B=PAP,故充分性得证.
解析
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考研数学三
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