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  3. 由方程2y3一2y2+2xy+y—x2=0确定的函数y=y(x) ( )

由方程2y3一2y2+2xy+y—x2=0确定的函数y=y(x) ( )

admin2020-06-20  53
问题 由方程2y3一2y2+2xy+y—x2=0确定的函数y=y(x)    (    )
选项 A、没有驻点．
B、有驻点但不是极值点．
C、有驻点且为极小值点．
D、有驻点且为极大值点．
答案C
解析 将所给方程两边对x求导数，y看成由此式确定的x的函数，则有
    6y2y’一4yy’+2y+2xy’+y’一2x=0，
    (6y2一4y+2x+1)y’+2(y—x)=0．
  先考虑驻点，令y’=0，得y=x．再与原方程联立：
   
    得2x3一2x2+2x2+x—x2=0，即x(2x2一x+1)=0．
    由于2x2一x+1=0无实根，故得唯一实根x=0，相应地有y=0．在此点有y’=0．故不选A．
    再看此点是否为极值点，求二阶导数．由

    将x=0，y=0，y’=0代入，得y"(0)=2＞0，所以该驻点为极小值点．选C．
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考研数学三

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