证明：二次型f=xTAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

admin2020-11-13 62

问题证明：二次型f=x^TAx在‖x‖=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

选项

答案设λ₁≥λ₂≥…≥λ_n为A的n个特征值，存在正交阵Q=(q₁，q₂，…，q_n)使 Q^TAQ=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A，并且Q的第i个列向量q_i是对应于特征值λ_i的单位化特征向量．令正交变换x=Qy，则 ‖x‖²=x^Tx—y^TQ^TQy=y^Ty=‖y‖²， ① 从而可得 [*] 另一方面，取y₀=e₁=(1，0，…，0)^T，则‖y₀‖=‖e₁‖=1，再取x₀=Qy₀，由①式知‖x₀‖=1，且二次型厂在x₀处的值为 f(x₀)=x₀^TAx₀=y₀^TQ^TAQy₀=y₀^TAy₀=λ₁， ③ 综合②式与③式，即知[*]=λ₁．

解析

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考研数学三

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