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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a一1,一a,1)T分别是λ1,λ2对应的特征向量.又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的特征向量为α0=(2,一5a,2a+1)T.试求a、λ0的值
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,a+1,2)T,α2=(a一1,一a,1)T分别是λ1,λ2对应的特征向量.又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的特征向量为α0=(2,一5a,2a+1)T.试求a、λ0的值
admin
2019-12-26
46
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一1,且α
1
=(1,a+1,2)
T
,α
2
=(a一1,一a,1)
T
分别是λ
1
,λ
2
对应的特征向量.又A的伴随矩阵A
*
有一个特征值为λ
0
,属于λ
0
的特征向量为α
0
=(2,一5a,2a+1)
T
.试求a、λ
0
的值,并求矩阵A.
选项
答案
由于|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2,故A可逆. 由于α
0
是A
*
的属于λ
0
的特征向量.所以A
*
α
0
=λ
0
α
0
.于是AA
*
α
0
=λ
0
Aα
0
,即|A|α
0
=λ
0
Aα
0
,亦即-2α
0
=λ
0
Aα
0
.故[*]从而[*]是A的特征值,α
0
是A的关于[*]对应的特征向量. 又由于α
1
,α
2
为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
正交,即α
1
T
α
2
=0,得a=±1. 无论a=1还是a=-1,则有α
0
与α
1
,α
2
中任何一个都线性无关,所以α
0
应是矩阵A的属于λ
3
的特征向量,于是有[*]从而λ
0
=2.且α
0
与α
1
正交,即α
0
T
α
1
=5a
2
+a-4=0,则[*]或a=-1,于是a=-1,λ
0
=2. 令[*]则P可逆,且 [*] 所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BUD4777K
0
考研数学三
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