假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(χ,y)|0≤χ≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布,记 (1)求U和V的联合分布; (2)求U和V的相关系数r.

admin2021-01-25  75

问题 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(χ,y)|0≤χ≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布,记

    (1)求U和V的联合分布;
    (2)求U和V的相关系数r.

选项

答案G的面积为SG=2.如图4.7所示: [*] 分得G=D1∪D2∪D3 其中,D1的面积:[*]; D3的面积:[*]×2×1=1; D2的面积:[*] 由题意,(X,Y)的概率密度为: [*] 而(U,V)可能取的值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1). 于是(1)P(U=0,V=0)=P(X≤Y,X≤2Y) [*] P(U=0,V=1)=P(x≤Y,X>2Y)=[*]f(χ,y)dχdy=0 P(U=1,V=0)=P(X>Y,X≤2Y)=[*] P(U=1,V=1)=P(X>y,X>2Y)=[*] 于是写出(U,V)的分布列(附带写出边缘分布列)如下: [*] ∴.DU=E(U2)-(EU)2=[*] DV=E(V2)-(EV)2=[*] E(U.V)=0×0×[*]+0×1×0+1×0×[*]+1×1×[*] 得(U,V)的相关系数为 [*]

解析
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