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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.
admin
2015-06-26
18
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得
f(ξ)∫
ξ
b
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx.
选项
答案
令φ(x)=∫
a
x
f(t)dt∫
b
x
g(t)dt,显然φ(x)在[a,b]上可导,又φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=f(x)∫
b
x
g(t)dt+g(x)∫
a
x
f(t)dt, 所以f(ξ)∫
b
ξ
g(x)dx+g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx=0,即f(ξ)∫
ξ
b
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx.
解析
由f(x)∫
x
b
g(t)dt=g(x)∫
a
x
f(t)dt得g(x)∫
a
x
f(t)dt+f(x)∫
b
x
g(t)dt=0即∫
a
x
f(t)dt∫
b
x
g(t)dt=0,则辅助函数为φ(x)=∫
a
x
f(t)dt∫
a
b
g(t)dt.
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考研数学三
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