2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．

admin2019-12-26  18
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．
选项
答案2
解析 【解法1】利用配方法化二次型为标准形．
    f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22－(x22－2x2x3)
    =(x1+x2)2－(x2－x3)2+x32=y12－y22+y32，
其中y1=x1+x2，y2=x2－x3，y3=x3，即
        
    由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．
    【解法2】  利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值个数．
    由于二次型f的矩阵为A的特征多项式为
         
    且f(0)=1＞0，f(1)=－1＜0，故由连续函数的介值定理知f(λ)分别在(－∞，0)，(0，1)，(1，+∞)各有一个零点，即f(λ)有两个正特征值，一个负特征值．因此，二次型f的正惯性指数为2．
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考研数学三

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