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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．
设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________．
admin
2019-12-26
7
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
，则f的正惯性指数为_________．
选项
答案
2
解析
【解法1】利用配方法化二次型为标准形．
f=x
1
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
=x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
－(x
2
2
－2x
2
x
3
)
=(x
1
+x
2
)
2
－(x
2
－x
3
)
2
+x
3
2
=y
1
2
－y
2
2
+y
3
2
，
其中y
1
=x
1
+x
2
，y
2
=x
2
－x
3
，y
3
=x
3
，即
由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．
【解法2】 利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值个数．
由于二次型f的矩阵为
A的特征多项式为
且f(0)=1＞0，f(1)=－1＜0，
故由连续函数的介值定理知f(λ)分别在(－∞，0)，(0，1)，(1，+∞)各有一个零点，即f(λ)有两个正特征值，一个负特征值．因此，二次型f的正惯性指数为2．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CJD4777K
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考研数学三
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