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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x2x3,则f的正惯性指数为_________.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x2x3,则f的正惯性指数为_________.
admin
2019-12-26
12
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
,则f的正惯性指数为_________.
选项
答案
2
解析
【解法1】利用配方法化二次型为标准形.
f=x
1
2
+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
=x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
-(x
2
2
-2x
2
x
3
)
=(x
1
+x
2
)
2
-(x
2
-x
3
)
2
+x
3
2
=y
1
2
-y
2
2
+y
3
2
,
其中y
1
=x
1
+x
2
,y
2
=x
2
-x
3
,y
3
=x
3
,即
由于这个线性变换是可逆的,故由惯性定理知,二次型f的正惯性指数为2.
【解法2】 利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值个数.
由于二次型f的矩阵为
A的特征多项式为
且f(0)=1>0,f(1)=-1<0,
故由连续函数的介值定理知f(λ)分别在(-∞,0),(0,1),(1,+∞)各有一个零点,即f(λ)有两个正特征值,一个负特征值.因此,二次型f的正惯性指数为2.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CJD4777K
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考研数学三
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