(1)设f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一=1(x＞一1)，求f(x)．

admin2019-08-23 0

问题 (1)设f(x)=e^x一∫₀^x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
(2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一

=1(x＞一1)，求f(x)．

选项

答案(1)由f(x)=e^x一∫₀^x(x—t)f(t)dt，得f(x)=e^x一x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e^x一∫₀^xf(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e^x，其通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+[*] 在f(x)=e^x—∫₀^x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=e^x—∫₀^xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有[*] (2)由f(x)-[*]=1得(x+1)f(x)一∫₀^xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+(x+1)f’(x)一xf(x)=1，整理得[*] 解得f(x)=[*] 由f(0)=1得C=3，故f(x)=[*]

解析

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考研数学一

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