设0≤α≤1．证明：f(x)=xα在[0，+∞)上一致连续．

admin2022-10-31 68

问题设0≤α≤1．证明：f(x)=x^α在[0，+∞)上一致连续．

选项

答案当α=1时，f(x)=x在[0,+∞)上显然一致连续．当α=0时，结果显然成立．当0＜α＜1时，由于对[*]x∈[0，1]，(1-x)^α+x^α≥(1-x)+x=1，即1-x^α≤(1-x)^α．从而对[*]x₁，x₂∈[0，+∞)，x₁＞x₂，有 x₁^α-x₂^α=[*]=(x₁-x₂)^α，因此，[*]x₁，x₂∈[0，+∞)，小妨设x₁＞x₂，令(x₁-x₂)^α＜ε．则｜x₁-x₂｜＜ε^1／α，取δ=ε^1／α，于是当｜x₁-x₂｜＜δ时，有｜x₁^α-x₂^α｜＜(x₁-x₂)^α＜ε．因此，f(x)=x^α在[0，+∞)上一致连续．

解析

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