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设0≤α≤1.证明:f(x)=xα在[0,+∞)上一致连续.
设0≤α≤1.证明:f(x)=xα在[0,+∞)上一致连续.
admin
2022-10-31
67
问题
设0≤α≤1.证明:f(x)=x
α
在[0,+∞)上一致连续.
选项
答案
当α=1时,f(x)=x在[0,+∞)上显然一致连续.当α=0时,结果显然成立. 当0<α<1时,由于对[*]x∈[0,1],(1-x)
α
+x
α
≥(1-x)+x=1,即1-x
α
≤(1-x)
α
.从而对[*]x
1
,x
2
∈[0,+∞),x
1
>x
2
,有 x
1
α
-x
2
α
=[*]=(x
1
-x
2
)
α
, 因此,[*]x
1
,x
2
∈[0,+∞),小妨设x
1
>x
2
,令(x
1
-x
2
)
α
<ε.则|x
1
-x
2
|<ε
1/α
,取δ=ε
1/α
,于是当|x
1
-x
2
|<δ时,有|x
1
α
-x
2
α
|<(x
1
-x
2
)
α
<ε. 因此,f(x)=x
α
在[0,+∞)上一致连续.
解析
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考研数学三
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