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设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (Ⅰ)求随机变量Y关于X=x的条件密度; (Ⅱ)讨论随机变量X与Y的相关性和独立性.
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (Ⅰ)求随机变量Y关于X=x的条件密度; (Ⅱ)讨论随机变量X与Y的相关性和独立性.
admin
2017-11-22
46
问题
设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
(Ⅰ)求随机变量Y关于X=x的条件密度;
(Ⅱ)讨论随机变量X与Y的相关性和独立性.
选项
答案
(Ⅰ)先求X的边缘密度.对任意x>0,有 f
X
(x)=∫
—∞
+∞
f(x,y)dy=[*]∫
x
+∞
(y
2
一x
2
)e
—y
dy =[*]∫
x
+∞
y
2
de
—y
+[*]x
2
∫
—∞
+∞
de
—y
=[*](y
2
e
—y
+2ye
—y
+2e
—y
)|
x
+∞
—[*]x
2
e
—x
=[*](x
2
e
—x
+2xe
—x
+2e
—x
一x
2
e
—x
) =[*](1+x)e
—x
; 对于任意x≤0,有一x<y<+∞,因此 f
X
(x)=[*]∫
—x
+∞
(y
2
一x
2
)e
—y
dy =[*](y
2
e
—y
+2ye
—y
+2e
—y
)|
—x
+∞
—[*]x
2
e
x
=[*](x
2
e
x
—2xe
x
+2e
x
)一[*]x
2
e
x
=[*](1一x)e
x
=[*](1+|x|)e
—|x|
. 于是,X的边缘密度f
X
(x)=[*](1+|x|)e
—|x|
,一∞<x<+∞. 故对于任意x,随机变量Y关于X=x的条件密度为 [*] (Ⅱ)为判断独立性,需再求Y的边缘密度 [*] 由于f
X
(x).f
Y
(y)≠f(x,y),故X,Y不独立. 又EXY=∫
—∞
b
xyf(x,y)dxdy=[*]∫
υ
+∞
[ye
—y
∫
—y
y
x(y
2
一x
2
)dx]dy=0, EX=∫
—∞
+∞
xf
X
(x)dx=[*]∫
—∞
+∞
(1+|x|)e
—|x|
dx=0. 所以cov(X,Y)=EX—Y—E.Y.EY=0.从而可知X与Y既不独立,也不相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CnX4777K
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