2. 考研
  3. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 （Ⅰ）求随机变量Y关于X=x的条件密度； （Ⅱ）讨论随机变量X与Y的相关性和独立性．

设随机变量（X，Y）的联合概率密度为 （Ⅰ）求随机变量Y关于X=x的条件密度； （Ⅱ）讨论随机变量X与Y的相关性和独立性．

admin2017-11-22  35
问题 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

（Ⅰ）求随机变量Y关于X=x的条件密度；
（Ⅱ）讨论随机变量X与Y的相关性和独立性．
选项
答案(Ⅰ)先求X的边缘密度．对任意x＞0，有 fX(x)=∫—∞+∞f(x，y)dy=[*]∫x+∞（y2一x2）e—ydy =[*]∫x+∞y2de—y+[*]x2∫—∞+∞de—y =[*](y2e—y+2ye—y+2e—y)|x+∞—[*]x2e—x =[*]（x2e—x+2xe—x+2e—x一x2e—x） =[*]（1+x）e—x； 对于任意x≤0，有一x＜y＜+∞，因此 fX(x)=[*]∫—x+∞(y2一x2)e—ydy =[*]（y2e—y+2ye—y+2e—y）|—x+∞—[*]x2ex =[*]（x2ex—2xex+2ex）一[*]x2ex =[*]（1一x）ex=[*](1+|x|)e—|x|． 于是，X的边缘密度fX(x)=[*]（1+|x|）e—|x|，一∞＜x＜+∞． 故对于任意x，随机变量Y关于X=x的条件密度为 [*] (Ⅱ)为判断独立性，需再求Y的边缘密度 [*] 由于fX（x）．fY(y)≠f(x，y)，故X，Y不独立． 又EXY=∫—∞bxyf(x，y)dxdy=[*]∫υ+∞[ye—y∫—yyx(y2一x2)dx]dy=0， EX=∫—∞+∞xfX(x)dx=[*]∫—∞+∞(1+|x|)e—|x|dx=0． 所以cov(X，Y)=EX—Y—E．Y．EY=0．从而可知X与Y既不独立，也不相关．
解析
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考研数学三

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