设α，β都是n维列向量时，证明 ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．

admin2017-08-07 47

问题设α，β都是n维列向量时，证明
①αβ^T的特征值为0，0，…，0，β^Tα．
②如果α不是零向量，则α是αβ^T的特征向量，特征值为β^Tα．

选项

答案 ①r(αβ^T)≤1，因此αβ^T的特征值为0，0，…，0，tr(αβ^T)．设α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T，则αβ^T的对角线元素为a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n，于是tr(αβ^T)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=β^Tα． ②仍记A=αβ^T，则Aα=αβ^Tα=(β^Tα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为β^Tα．

解析

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考研数学一

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