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  3. 利用代换将方程y”cos x－2y’sin x﹢3ycos x﹦ex化简，并求出原方程的通解。

利用代换将方程y”cos x－2y’sin x﹢3ycos x﹦ex化简，并求出原方程的通解。

admin2019-01-22  54
问题 利用代换将方程y”cos x－2y’sin x﹢3ycos x﹦ex化简，并求出原方程的通解。
选项
答案方法一：由[*]，得 y’﹦u’sec x﹢usec xtan x， y”﹦u”sec x﹢2u’sec xtan x﹢usec xtan2x﹢usec3x， 代入原方程y”cos x-2y’sin x﹢3ycos x﹦ex，得 U”﹢4u﹦ex。 (1) 先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ22﹢4﹦0，则特征方程的根为λ﹦±2i。所以通解为[*](x)﹦C1cos 2x﹢C1sin 2x，其中C1，C2为任意常数。 再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u*(x)﹦Aex，代入(1)式，得 (Aex)”﹢4(Aex)﹦Aex﹢4Aex﹦ex， 则A﹦[*]，因此u*(x)﹦[*]ex。所以(1)式的通解为 u(x)﹦C1cos 2x﹢C2sin 2x﹢[*]ex， 其中C1，C2为任意常数。 因此，原方程的通解为 [*] 方法二：由y﹦[*]得u﹦ycos x，于是 u’﹦y’cos x－ysinx， u”﹦y”cos x－2y’sin x－ycos x， 于是原方程y”cos x－2y’sin x﹢3ycos x﹦ex化为u”﹢4u﹦ex(以下求解过程同方法一)。 本题考查二阶非齐次线性微分方程的求解。考生在求解微分方程之前，应该先根据题目给出的代换将微分方程化简。二阶非齐次线性微分方程的通解包含两部分：对应二阶齐次线性微分方程的通解和二阶非齐次线性微分方程的特解。
解析
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考研数学一

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