2. 考研
  3. (I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…； (Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．

(I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…； (Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．

admin2018-12-21  40
问题 (I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…；
(Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．
选项
答案(I)当n≥2时，计算an＝∫02x(2x－x2)ndx＝∫02x[1－(1－x)2]ndx，作积分变量代换，令1－x＝t，于是 an＝∫1－1(1一t)(1－t2)n(－dt)＝∫－11(1－t2)ndt－∫－11t(1－t2)n dt＝∫－11(1－t2)ndt＝2∫01(1－t2)ndt． 下面用分部积分法计算： an＝2∫01(1﹣t2)ndt＝2∫01(1﹣t2)(1﹣t2)n﹣1dt ＝an﹣1﹣2∫01t(1﹣t2)n﹣1tdt ＝an﹣1﹢[*]∫01td[(1﹣t2)n] ＝an﹣1﹣[*]∫01(1﹣t2)ndt＝an﹣1﹣[*] [*] 其中a1＝∫02x(2x﹣x2)dx＝[*] (Ⅱ)由(I)知，以an的迭代式显然有0﹤an﹤an－1(n＝2，3，…)．又 [*]
解析
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考研数学二

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