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(I)求定积分an=∫02x(2x-x2)ndx,n=1,2,…; (Ⅱ)对于(I)中的an,证明an﹢1<an(n=1,2,…)且=0.
(I)求定积分an=∫02x(2x-x2)ndx,n=1,2,…; (Ⅱ)对于(I)中的an,证明an﹢1<an(n=1,2,…)且=0.
admin
2018-12-21
63
问题
(I)求定积分a
n
=∫
0
2
x(2x-x
2
)
n
dx,n=1,2,…;
(Ⅱ)对于(I)中的a
n
,证明a
n﹢1
<a
n
(n=1,2,…)且
=0.
选项
答案
(I)当n≥2时,计算a
n
=∫
0
2
x(2x-x
2
)
n
dx=∫
0
2
x[1-(1-x)
2
]
n
dx,作积分变量代换,令1-x=t,于是 a
n
=∫
1
-1
(1一t)(1-t
2
)
n
(-dt)=∫
-1
1
(1-t
2
)
n
dt-∫
-1
1
t(1-t
2
)
n
dt=∫
-1
1
(1-t
2
)
n
dt=2∫
0
1
(1-t
2
)
n
dt. 下面用分部积分法计算: a
n
=2∫
0
1
(1﹣t
2
)
n
dt=2∫
0
1
(1﹣t
2
)(1﹣t
2
)
n﹣1
dt =a
n﹣1
﹣2∫
0
1
t(1﹣t
2
)
n﹣1
tdt =a
n﹣1
﹢[*]∫
0
1
td[(1﹣t
2
)
n
] =a
n﹣1
﹣[*]∫
0
1
(1﹣t
2
)
n
dt=a
n﹣1
﹣[*] [*] 其中a
1
=∫
0
2
x(2x﹣x
2
)dx=[*] (Ⅱ)由(I)知,以a
n
的迭代式显然有0﹤a
n
﹤a
n-1
(n=2,3,…).又 [*]
解析
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考研数学二
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