2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．

设A是n阶反对称矩阵， (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵； (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．

admin2022-04-08  36
问题 设A是n阶反对称矩阵，
(Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么—λ也必是A的特征值．
选项
答案(Ⅰ)按反对称矩阵定义：AT=一A，那么 ｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜，即[1—(—1)n]｜A｜=0． 若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数． 因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(一A)*． 又因(kA)*=kn—1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(—1)2kA*=A*， 即A*是对称矩阵． (Ⅱ)例如，A=[*]是4阶反对称矩阵，且不可逆． (Ⅲ)若λ是A的特征值，有f λE—A J=0，那么 ｜—λE—A｜=｜(一λE—A)T｜=｜—λE—AT｜=｜—λE+A｜ =｜一(λE—A)｜=(一1)n｜λE—A｜=0， 所以一λ是A的特征值．
解析
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考研数学二

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