2. 考研
  3. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝( )。

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝( )。

admin2015-11-16  104
问题 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝(    )。
选项 A、[1，2，3，4]T＋C[1，1，1，1]T
B、[1，2，3，4]T＋C[0，1，2，3]T
C、[1，2，3，4]T＋C[2，3，4，5]T
D、[1，2，3，4]T＋C[3，4，5，6]T
答案C
解析 [解题思路]  根据非齐次线性方程组通解的结构，依次求出其导出组的基础解系及自身的一个特解。
    解一  因r(A)＝3，n＝4，故导出组AX＝0的一个基础解系只含n－r(A)＝4－3＝1个解，又根据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解，因而
    2α1－(α2＋α3)＝(α1－α2)＋(α1－α3)＝[2，3，4，5]T≠0
为其导出组的一个解，因它不等于0，故[2，3，4，5]T为其导出组的基础解系，又显然α1为其自身的一个特解，故所求通解为
   α1＋C[2α1－(α2＋α3)]＝[1，2，3，4]T＋C[2，3，4，5]T，仅(C)入选。
    解二  (A)中[1，1，1，1]T＝α1－(α2＋α3)，(B)中[0，1，2，3]T＝α2＋α3及(D)中[3，4，5，6]T＝3α1－2(α2＋α3)都不是AX＝0的解，因而乘以任意常数C后不能构成其导出组的基础解系，故选项(A)、(B)、(D)都不正确，仅(C)入选。
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考研数学一

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