设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)]．试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=2=2/9

admin2022-09-14 67

问题设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t²f(t)-f(1)]．试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜_x=2=2/9的解．

选项

答案由题设，旋转体体积应为π∫₁^tf²(x)dx，则π∫₁^tf²(x)dx=π/3[t²f(t)-f(1)]，从而∫₁^tf²(x)dx=1/3[t²f(t)-f(1)] 两边对t求导，得>f²(t)=1/3[2tf(t)+t²f^’(t)]，即t²f^’(t)-3f²(t)+2tf(t)=0．令[*] 因此[*] 从而[*]

解析

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