已知A，B为三阶非零方阵，为齐次线性方程组BX＝0的3个解向量．且AX＝β3有非零解． (1)求a，b的值； (2)求BX＝0的通解．

admin2016-01-25 53

问题已知A，B为三阶非零方阵，

为齐次线性方程组BX＝0的3个解向量．且AX＝β₃有非零解．
(1)求a，b的值；
(2)求BX＝0的通解．

选项

答案(1)因B≠0，故r(B)≥1，因而BX＝0的基础解系所含解向量的个数为 n一r(B)≤3—1＝2个．而β₁，β₂，β₃均是BX＝0的解，故β₁，β₂，β₃必线性相关，于是｜β₁，β₂，β₃｜＝[*]＝0 解得a＝3b．又AX＝β₃有非零解，即β₃可由A的3个列向量 [*] 线性表示，由观察易看出 α₃＝3α₁＋2α₂．可见，β₃可由α₁，α₂线性表示，因此β₃，α₁，α₂线性相关，于是｜β₃，α₁，α₂｜＝[*]＝0，解得b＝5，从而a＝15． (2)由题设r(B)≥1，于是3一r(B)≤2，又已知β₁，β₂为BX＝0的两个线性无关的解，故3一r(B)≥2，所以3一r(B)＝2，β₁，β₂即可作为BX＝0的基础解系，故通解为 X＝k₁β₁＋k₂β₂ (k₁，k₂为任意常数)．

解析因r(B)≥1，故β₁，β₂，β₃必线性相关．又由AX＝β₃知，β₃可表示为A的3个列向量的线性组．由这两个线性关系式可求出a，b．

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考研数学三

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