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设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )
设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )
admin
2021-02-25
71
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
B、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
C、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
D、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
答案
A
解析
本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性．可用定义分析：λ
1
α
1
+
2
α
2
+…+
s
α
s
=0中，若存在λ
1
，λ
2
，…，λ
s
是一组不全为零数时，向量组α
1
，α
2
，…，α
s
是线性相关的；若只有当λ
1
，λ
2
，…，λ
s
都为零数时，向量组α
1
，α
2
，…，α
s
是线性无关的．也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数．
若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
，使
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0，
在等式的两端左乘矩阵A得
k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)=A0=0
由于k
1
，k
2
，…，k
s
不全为零，故Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．所以A选项正确，B不正确．
设α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，若m=n，且A=E，则Aα
1
，Aα
2
，…，A
s
线性无关．所以C不正确．若A=O，则Aα
1
，
Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．所以D不正确．故选A．
本题也可以用秩分析．由于(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)=A(α
1
，α
2
，…，α
s
)，所以
r(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)=r[A(α
1
，α
2
，…，α
s
)]≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)．
若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则r(α
1
，α
2
，…，α
s
)＜s．于是r(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)＜s．故Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
故选项(A)正确．
注：要确定结论正确，则要求在任意情况下结论都正确，取特殊的正确，则不能确定结论正确．要确定结论不正确，只需取一种特殊情况，结论不正确，即可否定．则
x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
s
(α
s
+α
1
)=0，
即
(x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0，
由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，所以
方程组的系数行列式为
当s为奇数时，D=2≠0，方程组只有零解，所以x
1
=0，x
2
=0，…，x
s
=0，此时向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关．当s为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的k
1
，k
2
，…，k
s
使得k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，故向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
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0
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