2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=5／3．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=5／3．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．

admin2018-05-21  39
问题 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=5／3．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．
选项
答案方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0， P(2)=f(2)=5／3，P(1)=f(1)． [*] 令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)[*](0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)－2，所以f"’(ξ)=2． 方法二由泰勒公式，得 [*] 两式相减，得2／3=[*]，而f"’(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．
解析
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考研数学一

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