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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.
admin
2018-05-21
43
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.
选项
答案
方法一先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,使得P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0, P(2)=f(2)=5/3,P(1)=f(1). [*] 令g(x)=f(x)-P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g’(c
1
)=g’(1)=g’(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1),d
2
∈(1,c
2
)使得g"(d
1
)=g"(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
2
)[*](0,2),使得g"’(ξ)=0,而g"’(x)=f"’(x)-2,所以f"’(ξ)=2. 方法二由泰勒公式,得 [*] 两式相减,得2/3=[*],而f"’(x)∈C[0,2],所以存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.
解析
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考研数学一
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