设A为三阶矩阵,方程组AX=0的基础解系为α1,α2,又λ=-2为A的一个特征值,其对应的特征向量为α3,下列向量中是A的特征向量的是( ).

admin2019-08-28  58

问题 设A为三阶矩阵,方程组AX=0的基础解系为α1,α2,又λ=-2为A的一个特征值,其对应的特征向量为α3,下列向量中是A的特征向量的是(    ).

选项 A、α13
B、3α31
C、α1+2α2+3α3
D、2α1-3α2

答案D

解析 因为AX=0有非零解,所以r(A)<n,故0为矩阵A的特征值,α1,α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量,显然特征值0为二重特征值,若α13为属于特征值λ0的特征向量,则有A(α13)=λ013),注意到A(α13)=0α1-2α3=-2α3,故-2α3013)或λ0α1+(λ0+2)α3=0,因为α1,α3线性无关,所以有λ0=0,λ0+2=0,矛盾,故α13不是特征向量,同理可证3α31及α1+2α2+3α3也不是特征向量,显然2α1-3α2为特征值0对应的特征向量,选D.
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