2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当xε(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________________________。

设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当xε(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________________________。

admin2018-11-16  49
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当xε(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足=t3(t≥0)，则f(x)的表达式是_________________________。
选项
答案f(x)=x2(x≥0)
解析 方法一：由定积分的几何意义知：=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞0所围成的曲边梯形的面积，=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积。x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见下图。

于是，因此tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，即f(x)=x2(x≥0)。
方法二：先化简题设方程的左端式子，有于是，即tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)，因此f(x)=x2(x≥0)。
方法三：将题设方程两边求导得，即f(t)+g[f(t)]f’t=3t2，f(t)=tf’(t)=3t2，亦即[tf(t)]’=3t2。(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)，将上式积分得tf(t)=t3+C，即，因f(t)在[0，+∞)上连续，故必有C=0，因此f(x)=x2(x≥0)。
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考研数学三

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