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  3. 求函数f(x，y)=x2+2y2－x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0)上的最大值与最小值．

求函数f(x，y)=x2+2y2－x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0)上的最大值与最小值．

admin2019-08-06  103
问题 求函数f(x，y)=x2+2y2－x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0)上的最大值与最小值．
选项
答案先求f(x，y)在D的内部的驻点．由 fˊx(x，y)=2x－2xy2=0，fˊy(x，y)=4y－2x2y=0， 解得x=0或y=±1；x=±[*]或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为M1([*]，1)，M2([*]，1)． 经计算， f([*]，1)=2，f([*]，1)=2． 再考虑D的边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x2+y2=4上， [*]=x2+2(4－x2)－x2(4－x2)=x4－5x2+8 [*]g(x)(－2＜x＜2)． 令 gˊ(x)=4x3－10x=0， 得x=0或x=±[*]．有g(0)=8，[*]，比较以上所获得的那些函数值的大小，有 [*]｛f(x，y)｝=f(0，2)=8， [*]｛f(x，y)｝=f(0，0)=0．
解析
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考研数学三

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