求函数u=x2+y2+z2存约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最人值与最小值.

admin2012-04-22  42

问题 求函数u=x2+y2+z2存约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最人值与最小值.

选项

答案用拉格朗日乘数法求解,引入拉格朗日函数 F(x,y,z,λ,u) =x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+u(x+y+z-4),为求其驻点,解如下方程组 [*] z=2x2与z=4-2x,从而得到两个驻点P1(1,1,2)与p2(-2,-2,8).对应的函数值分别为u(1,1,2)=6,u(-2,-2,8)=72. 比较即知函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2与x+y+z=4下的最大他为72,最小值为 6,分别在点P2(-2,-2,8),P1(1,1,2)取得.

解析
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