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设二维随机变量(X1,X2)~N(0,0,1,1;0).记X=max{X1,X2},Y=min{X1,X2},Z=X-Y. 求二维随机变量(X,Y)的分布函数.
设二维随机变量(X1,X2)~N(0,0,1,1;0).记X=max{X1,X2},Y=min{X1,X2},Z=X-Y. 求二维随机变量(X,Y)的分布函数.
admin
2022-04-27
48
问题
设二维随机变量(X
1
,X
2
)~N(0,0,1,1;0).记X=max{X
1
,X
2
},Y=min{X
1
,X
2
},Z=X-Y.
求二维随机变量(X,Y)的分布函数.
选项
答案
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} =P{max{X
1
,X
2
}≤x,min{X
1
,X
2
}≤y}[*]P(AB) 其中 A={max{X
1
,X
2
}≤x}={X
1
≤x,X
2
≤x}, B={min{X
1
,X
2
}≤y}={X
1
≤y}∪{X
2
≤y}, B={min{X
1
,X
2
}>y}={X
1
>y,X
2
>y}. 由A=AB∪[*],可知P(AB)=P(A)-P([*]),故 F(x,y)=P(AB)=P(A)-P([*]) =P{X
1
≤x,X
2
≤x)-P{X
1
≤x,X
2
≤x,X
1
>y,X
2
>y} =P{X
1
≤x}P{X
2
≤x}-P(X
1
≤x,X
1
>y}P{X
2
≤x,X
2
>y} =Φ
2
(x)P{X
1
≤x,X
1
>y}P{X
2
≤x,X
2
>y}. 当x≤y时,F(x,y)=Φ
2
(x). 当x>y时, F(x,y)=Φ
2
(x)-P{y<X
1
≤x}P{y<X
2
≤x} =Φ
2
(x)-[Φ(x)-Φ(y)]
2
=2Φ(x)Φ(y)-Φ
2
(y). 综上所述,(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=[*]
解析
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考研数学三
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