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  3. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n．

admin2019-05-10  57
问题 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n．
选项
答案BTAB正定的充要条件是秩(B)=n，证法较多．注意到BTAB中含互为转置的矩阵B与BT，用定义证之较方便．方程组BX=0[*]秩(B)=n，这是用定义证明正定性的关键．也可用特征值法证之． 证 (1)必要性 证一 用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，故秩(B)=n． 证二 由BTAB正定知，∣BTAB∣≠0，则秩(BTAB)=n．又因n=秩(BTAB)≤秩(B)≤n，故秩(B)=n． (2)充分性 证一 用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTA；，故BTAB为对称矩阵．(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点．) 由秩(B)=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0． 即对[*]X0≠0，恒有X0T(BTAB)X0＞0，故BTAB是正定矩阵． 证二 用特征值法证之．设λ是矩阵BTAB的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 即BTABα=λα(α≠0)，用αT左乘等式的两端，有(Bα)TA(Bα)=λαTα． 由于秩(B)=n，α≠0知，Bα≠0，又因A正定，从而有(Ba)TA(Ba)＞0．于是 λαTα=(Ba)TA(Ba)＞0． 而αTα=∣∣α∣∣2＞0，故特征值λ＞0．又 BTAB为实对称矩阵，故BTAB正定．
解析
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考研数学二

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