2. 考研
  3. 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为 y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．

设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为 y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．

admin2016-01-11  51
问题 设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为
    y=∫0xφ(t)f(x-t)dt．
选项
答案由y"+y=0，得通解 y=C1 cosx+C2sinx． 再由y(0)=0，y’(0)=1，得C1=0，C2=1，故 φ(x)=sinx． 下面验证y=∫0xsin tf(x一t)dt是非齐次方程初值问题的解．令u=x一t，则有 y=一∫x0sin(x一u)f(u)du=∫0xsin(x-u)f(u)du =sinx∫0xcos uf(u)du-cosx∫0x sinuf(u)du， y’=cos x∫0xcos uf(u)du+sin x∫0x sin uf(u)du， y”=sinx∫0x cosuf(u)du+cos x∫0x sinuf(u)du+f(x) =-y+f(x)， 且y(0)=y’(0)=0．
解析
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考研数学二

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