设f(x)=sinx－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

admin2022-10-13 116

问题设f(x)=sinx－∫₀^x(x－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

选项

答案由f(x)=sinx－x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt的两边对x求导得 f’(x)=cosx－∫₀^xf(t)dt 两边再对x求导得 f"(x)=－sinx－f(x) 即f"(x)+f(x)=－sinx 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，初始条件 y|_x=0=f(0)=0 y’|_x=0=f’(0)=1 对应齐次方程通解为Y=C₁sinx+C₂cosx，非齐次方程的特解可设为 y^*=x(asinx+bcosx) 用待定系数法求得：a=0,b=[*],于是y^*=[*]cosx，非齐次方程的通解为 y=Y+y^*=C₁sinx+C₂cosx+[*]cosx 由初始条件定出C₁=[*],C₂=0，从而 f(x)=[*]sinx+[*]cosx

解析

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