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设函数f(x)在[—a,a]上有二阶连续导数,证明: 若f(0)=0,则存在ξ∈(—a,a),使得f″(ξ)=
设函数f(x)在[—a,a]上有二阶连续导数,证明: 若f(0)=0,则存在ξ∈(—a,a),使得f″(ξ)=
admin
2023-03-16
5
问题
设函数f(x)在[—a,a]上有二阶连续导数,证明:
若f(0)=0,则存在ξ∈(—a,a),使得f″(ξ)=
选项
答案
由泰勒公式得 [*] 其中δ介于0与x之间. 分别令x=—a和x=a,则 f(—a)=f′(0)(—a)+[*],—a<ξ
1
<0, f(a)=f′(0)a+[*],0<ξ
2
<a, 两式相加可得 [*] 又函数f(x)在[—a,a]上有二阶连续导数,由介值定理知,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
] [*] (—a,a), 使得 [*] 即f″(ξ)=[*]
解析
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考研数学一
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