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  3. 设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

admin2014-04-10  57
问题 设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(I)An=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有
选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．
C、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
答案A
解析 若α是(I)的解，即Anα=0，显然An+1α=A(Anα=AO=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除C和D．若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(I)的解，即Anη≠0，那么对于向量组η，Aη，Anη，…，Anη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．由于Anη≠0，必有k=0．对k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An-1左乘上式可推知k1=0．类似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A2η，…，Anη线性无关，两者矛盾．所以必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(I)的解．由此可排除B．故应选A．
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考研数学三

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