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已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ线性无关．
已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，β+γ线性无关．
admin
2016-11-03
38
问题
已知n维向量α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，如果n维向量β不能由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，而γ可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，证明α
1
，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
s－1
+α
s
，β+γ线性无关．
选项
答案
利用拆项重组法及线性无关的定义证之． 由题设γ可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，可设 γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
， 又令 k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+…+k
s
(α
s
+α
s－1
)+k(β+γ)=0． 将其拆项重组得到 (k
1
+k
2
+kc
1
)α
1
+(k
2
+k
3
+kc
2
)α
2
+…+(k
s
+kc
s
)α
s
+kβ=0． 因α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，而β不能由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，故α
1
，α
2
，…，α
s
，β线性无关．因而 k=0， k
1
+k
2
+kc
1
=0， k
2
+k
3
+kc
2
=0， …，k
s
+kc
s
=0， 即 k
1
+k
2
=0，k
2
+k
3
=0，…，k
s－1
+k
s
=0，k
s
=0， 解得 k
1
=k
2
=…=k
s－1
=k
s
=0， 即α
1
，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
s－1
+α
s
，β+γ线性无关．
解析
利用线性无关的定义证之，也可用矩阵表示法证之．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FHu4777K
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