设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的。

admin2017-01-14 51

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的。

选项

答案设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k-1，使得 λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k-1A^k-1α=0，则有 A^k-1(λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k-1A^k-1α)=0，从而得到λ₀A^k-1α=0。由题设A^k-1α≠0，所以λ₀=0。类似地可以证明λ₁=λ₂=…=λ_k-1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的。

解析

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