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  3. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．

设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．

admin2017-11-13  26
问题 设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．
选项
答案因为f(t)为偶函数，故只需讨论t≥0的情形． 由于f(t)=2∫02πdθ∫0tr2 f(r) ．rdr+t4=4π∫0tr3 f(r) dr+t4．在等式两边同时对变量t求导，得f ’ (t)= 4πt3 f(t)+ 4t3．且f(0)=0．这是一个一阶线性微分方程．解此微分方程，得 [*]
解析 在已给出的积分方程中，因被积函数厂具有因子x2+y2，且积分区域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量t的一个微分方程．
由一般的变限积分方程所得到的微分方程，均有一个隐含的初始条件f(x0)=0．
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