过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D． (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．

admin2019-07-10 56

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．

选项

答案设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为 y’=[*]，切线方程为 y—y₀=[*](x—x₀)．它经过点(0，0)，所以一y₀=一x₀[*]，代入求得x₀=1，从而y₀=[*]=e，切线方程为y=ex． (Ⅰ)取水平条面积元素， [*] (积分∫₀^eln ydy为反常积分，[*]yln y=0来自洛必达法则) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]

解析

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考研数学三

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过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D． (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．

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