2. 考研
  3. 过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D． (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．

过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D． (Ⅰ)求D的面积A； (Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．

admin2019-07-10  62
问题 过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．
选项
答案设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为 y’=[*]， 切线方程为 y—y0=[*](x—x0)． 它经过点(0，0)，所以一y0=一x0[*]，代入求得x0=1，从而y0=[*]=e，切线方程为y=ex． (Ⅰ)取水平条面积元素， [*] (积分∫0eln ydy为反常积分，[*]yln y=0来自洛必达法则) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]
解析
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考研数学三

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