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求下列微分方程的通解: (1)y〞-2yˊ=0; (2)y〞-3yˊ+2y=0; (3)y〞+4y=0; (4)y〞-4yˊ+5y=0; (5)y〞-6yˊ+9y=0; (6)y〞+2yˊ+ay=0; (7)y〞+6y〞+10yˊ=0;
求下列微分方程的通解: (1)y〞-2yˊ=0; (2)y〞-3yˊ+2y=0; (3)y〞+4y=0; (4)y〞-4yˊ+5y=0; (5)y〞-6yˊ+9y=0; (6)y〞+2yˊ+ay=0; (7)y〞+6y〞+10yˊ=0;
admin
2011-11-19
85
问题
求下列微分方程的通解:
(1)y〞-2yˊ=0; (2)y〞-3yˊ+2y=0;
(3)y〞+4y=0; (4)y〞-4yˊ+5y=0;
(5)y〞-6yˊ+9y=0; (6)y〞+2yˊ+ay=0;
(7)y〞+6y〞+10yˊ=0; (8)y
(4)
-2y〞+y=0;
(9)y
(4)
+2y〞+y=0; (10)y
(4)
+3y〞-4y=0.
选项
答案
(1)方程的特征方程为r
2
-2r=0,特征根为r
1
=0,r
2
=2,所以原方程的通解为y=C
1
+C
2
e
2x
. (2)特征方程为r
2
-3r+2=0,特征根为r
1
=1,r
2
=2,所以原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
. (3)方程的特征方程为r
2
+4=0,特征根为r
1,2
=±2i,所以原方程的通解为y=C
1
cos2x+C
2
sin2x. (4)特征方程为r
2
-4r+5=0,则r
1,2
=2±i,通解y=e
2x
(C
1
cosx+C
2
sinx). (5)方程的特征方程为r
2
-6r+9=0,特征根为r
1,2
=3,所以原方程的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
3x
. (6)特征方程为r
2
+2r+a=0,讨论①当a=1时,r
1
=r
2
=-1,通解y=(C
1
+C
2
x)e
-x
; [*] (7)方程的特征方程为r
3
+6r
2
+10r=0,特征根为r
1
=0,r
2,3
=-3±i,所以原方程的通解为y=C
1
+e
-3x
(C
2
cosx+C
3
sinx). (8)特征方程为r
4
-2r
2
+1=0,特征根为r
1
=r
2
=1,r
3
=r
4
=-1, 通解y=(C
1
+C
2
x)e
x
+(C
3
+C
4
x)e
-x
. (9)方程的特征方程为r
4
+2r
2
+1=0,特征根为r
1,2
=i,r
3,4
=-i,所以原方程的通解为y=(C
1
+C
2
x)cosx+(C
3
+C
4
x)sinx. (10)特征方程为r
4
+3r
2
-4=0,特征根为r
1,2
=±2i,r
3,4
=±1,所以原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
+C
3
cos2x+C
4
sin2x.
解析
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考研数学三
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