求下列微分方程的通解： (1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0； (3)y〞＋4y＝0； (4)y〞－4yˊ＋5y＝0； (5)y〞－6yˊ＋9y＝0； (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0； (7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0；

admin2011-11-19 60

问题求下列微分方程的通解：
(1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0；
(3)y〞＋4y＝0； (4)y〞－4yˊ＋5y＝0；
(5)y〞－6yˊ＋9y＝0； (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0；
(7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0； (8)y⁽⁴⁾－2y〞＋y＝0；
(9)y⁽⁴⁾＋2y〞＋y＝0； (10)y⁽⁴⁾＋3y〞－4y＝0．

选项

答案(1)方程的特征方程为r²－2r＝0，特征根为r₁＝0，r₂＝2，所以原方程的通解为y＝C₁＋C₂e^2x． (2)特征方程为r₂－3r＋2＝0，特征根为r₁＝1，r₂＝2，所以原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x． (3)方程的特征方程为r²＋4＝0，特征根为r_1，2＝±2i，所以原方程的通解为y＝C₁cos2x＋C₂sin2x． (4)特征方程为r²－4r＋5＝0，则r_1，2＝2±i，通解y＝e^2x(C₁cosx＋C₂sinx)． (5)方程的特征方程为r²－6r＋9＝0，特征根为r_1，2＝3，所以原方程的通解为y＝(C₁＋C₂x)e^3x． (6)特征方程为r²＋2r＋a＝0，讨论①当a＝1时，r₁＝r₂＝－1，通解y＝(C₁＋C₂x)e^－x； [*] (7)方程的特征方程为r³＋6r²＋10r＝0，特征根为r₁＝0，r_2，3＝－3±i，所以原方程的通解为y＝C₁＋e^－3x(C₂cosx＋C₃sinx)． (8)特征方程为r⁴－2r²＋1＝0，特征根为r₁＝r₂＝1，r₃＝r₄＝－1，通解y＝(C₁＋C₂x)e^x＋(C₃＋C₄x)e^－x． (9)方程的特征方程为r⁴＋2r²＋1＝0，特征根为r_1，2＝i，r_3，4＝－i，所以原方程的通解为y＝(C₁＋C₂x)cosx＋(C₃＋C₄x)sinx． (10)特征方程为r⁴＋3r²－4＝0，特征根为r_1，2＝±2i，r_3，4＝±1，所以原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^－x＋C₃cos2x＋C₄sin2x．

解析

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考研数学三

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求下列微分方程的通解： (1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0； (3)y〞＋4y＝0； (4)y〞－4yˊ＋5y＝0； (5)y〞－6yˊ＋9y＝0； (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0； (7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0；

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