2. 考研
  3. 求下列微分方程的通解： (1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0； (3)y〞＋4y＝0； (4)y〞－4yˊ＋5y＝0； (5)y〞－6yˊ＋9y＝0； (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0； (7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0；

求下列微分方程的通解： (1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0； (3)y〞＋4y＝0； (4)y〞－4yˊ＋5y＝0； (5)y〞－6yˊ＋9y＝0； (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0； (7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0；

admin2011-11-19  122
问题 求下列微分方程的通解：
(1)y〞－2yˊ＝0；    (2)y〞－3yˊ＋2y＝0；
(3)y〞＋4y＝0；    (4)y〞－4yˊ＋5y＝0；
(5)y〞－6yˊ＋9y＝0；    (6)y〞＋2yˊ＋ay＝0；
(7)y〞＋6y〞＋10yˊ＝0；    (8)y(4)－2y〞＋y＝0；
(9)y(4)＋2y〞＋y＝0；    (10)y(4)＋3y〞－4y＝0．
选项
答案(1)方程的特征方程为r2－2r＝0，特征根为r1＝0，r2＝2，所以原方程的通解为y＝C1＋C2e2x． (2)特征方程为r2－3r＋2＝0，特征根为r1＝1，r2＝2，所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e2x． (3)方程的特征方程为r2＋4＝0，特征根为r1，2＝±2i，所以原方程的通解为y＝C1cos2x＋C2sin2x． (4)特征方程为r2－4r＋5＝0，则r1，2＝2±i，通解y＝e2x(C1cosx＋C2sinx)． (5)方程的特征方程为r2－6r＋9＝0，特征根为r1，2＝3，所以原方程的通解为y＝(C1＋C2x)e3x． (6)特征方程为r2＋2r＋a＝0，讨论①当a＝1时，r1＝r2＝－1，通解y＝(C1＋C2x)e－x； [*] (7)方程的特征方程为r3＋6r2＋10r＝0，特征根为r1＝0，r2，3＝－3±i，所以原方程的通解为y＝C1＋e－3x(C2cosx＋C3sinx)． (8)特征方程为r4－2r2＋1＝0，特征根为r1＝r2＝1，r3＝r4＝－1， 通解y＝(C1＋C2x)ex＋(C3＋C4x)e－x． (9)方程的特征方程为r4＋2r2＋1＝0，特征根为r1，2＝i，r3，4＝－i，所以原方程的通解为y＝(C1＋C2x)cosx＋(C3＋C4x)sinx． (10)特征方程为r4＋3r2－4＝0，特征根为r1，2＝±2i，r3，4＝±1，所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cos2x＋C4sin2x．
解析
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考研数学三

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