设α1,α2,α3,α4都是n维向量.判断下列命题是否成立. ①如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ②如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α

admin2019-08-12  32

问题 设α1,α2,α3,α4都是n维向量.判断下列命题是否成立.
    ①如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关.
    ②如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关.
    ③如果存在n阶矩阵A,使得Aα1,Aα2,Aα3,Aα4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关.
    ④如果α1=Aβ1,α2=Aβ2,α3=Aβ3,α4=Aβ4,其中A可逆,β1,β2,β3,β4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关.
    其中成立的为

选项 A、①③④.
B、①②③.
C、②③④.
D、①②④.

答案A

解析 ①,③,④.
    ①直接从定理3.2得到.
    ②明显不对,例如α3不能用α1,α2线性表示,而α34时,α3,α4都不能用α1,α2线性表示但是α1,α2,α3,α4线性相关.
    ③容易用秩说明:Aα1,Aα2,Aα3,Aα4的秩即矩阵(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)的秩,而(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)=A(α1,α2,α3,α4),由矩阵秩的性质④,
    r(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)≤r(α1,α2,α3,α4).Aα1,Aα2,Aα3,Aα4无关,秩为4,于是α1,α2,α3,α4
的秩也一定为4,线性无关.
    ④也可从秩看出:A可逆时,r(α1,α2,α3,α4)=r(Aα1,Aα2,Aα3,Aα4)=4.
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