设A与B均是n阶矩阵，且R(A)＋R(B)﹤n，证明方程组Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．

admin2020-06-05 48

问题设A与B均是n阶矩阵，且R(A)＋R(B)﹤n，证明方程组Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．

选项

答案构造齐次线性方程组[*]，设α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}与β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t}分别是A与B行向量组的极大线性无关组，那么矩阵[*] 的行向量组可以由α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t} 线性表示．从而 [*]≤R(α_i₁，α_i₂，…，α_{i_r}，β_j₁，β_j₂，…，β_{j_t})≤r＋t＝R(A)＋R(B)﹤n 所以方程组[*]有非零解，即Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．

解析

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