2. 考研
  3. 设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为(β1，β2，…，βr)＝(α1，α2，…，αs)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．

设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为(β1，β2，…，βr)＝(α1，α2，…，αs)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．

admin2020-06-05  50
问题 设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为(β1，β2，…，βr)＝(α1，α2，…，αs)K其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关．证明：向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)＝r．
选项
答案令B＝(β1，β2，…，βr)，A＝(α1，α2，…，αs)，则有B＝AK． 必要性 设向量组B线性无关．由向量组B线性无关及矩阵秩的性质，有 r＝R(B)＝R(AK)≤min{R(A)，R(K)}≤R(K)≤min{r，s)≤r 因此R(K)＝r． 充分性：方法一 因为矩阵R(K)＝r，所以存在可逆矩阵c，使KC＝[*]为K的标准形．于是 (β1，β2，…，βr)C＝(α1，α2，…，αs)KC＝(α1，α2，…，αs) 又因为C可逆，所以R(β1，β2，…，βr)＝R(α1，α2，…，αs)＝s≥R(K)＝r，从而R(β1，β2，…，βr)＝r，因此β1，β2，…，βr线性无关． 方法二 设矩阵R(K)=r．由于 Bx＝0→AKx＝0→A(Kx)＝0→Kx＝0→x＝0 所以β1，β2，…，βr线性无关．
解析
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考研数学一

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