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设向量组B:β1,β2,…,βr能由向量组A:α1,α2,…,αs线性表示为(β1,β2,…,βr)=(α1,α2,…,αs)K其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明:向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)=r.
设向量组B:β1,β2,…,βr能由向量组A:α1,α2,…,αs线性表示为(β1,β2,…,βr)=(α1,α2,…,αs)K其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明:向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)=r.
admin
2020-06-05
52
问题
设向量组B:β
1
,β
2
,…,β
r
能由向量组A:α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示为(β
1
,β
2
,…,β
r
)=(α
1
,α
2
,…,α
s
)K其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关.证明:向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵R(K)=r.
选项
答案
令B=(β
1
,β
2
,…,β
r
),A=(α
1
,α
2
,…,α
s
),则有B=AK. 必要性 设向量组B线性无关.由向量组B线性无关及矩阵秩的性质,有 r=R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K)}≤R(K)≤min{r,s)≤r 因此R(K)=r. 充分性:方法一 因为矩阵R(K)=r,所以存在可逆矩阵c,使KC=[*]为K的标准形.于是 (β
1
,β
2
,…,β
r
)C=(α
1
,α
2
,…,α
s
)KC=(α
1
,α
2
,…,α
s
) 又因为C可逆,所以R(β
1
,β
2
,…,β
r
)=R(α
1
,α
2
,…,α
s
)=s≥R(K)=r,从而R(β
1
,β
2
,…,β
r
)=r,因此β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关. 方法二 设矩阵R(K)=r.由于 Bx=0→AKx=0→A(Kx)=0→Kx=0→x=0 所以β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GAv4777K
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考研数学一
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