A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

admin2018-09-25 74

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为｜A｜中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij，不全为0，所以 [*] 而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，于是｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以 [*] 在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GSg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

考研数学一

设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)．(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds，其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量．(

设曲线积分∮L2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x2ψ(y)+2xy2－2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数．(Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)；(Ⅱ)计算沿

设函数f(x)连续，且f(t)dt=sin2x+tf(x－t)dt．求f(x)．

设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．

空间中两条直线l1：共面的充分必要条件是

设函数f(x)在[0，π]上连续，且f(x)sinxdx=0，f(x)cosxdx=0．证明：在(0，π)内．f(x)至少有两个零点．

设x=Cy是坐标变换，证明x0≠0的充分必要条件是y0≠0．

已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1一θ)2，EX=2(1一θ)(θ为未知参数)．(Ⅰ)试求X的概率分布；(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．

设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+βy=γe2x的一个特解为y=e2x+(1+x)ex．求此方程的通解．

设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=-1，求极限

α1受体分布于皮肤、黏膜、腹腔内脏血管。

Forthispart,youareallowed30minutestowriteanessayentitledOnPayingBackStudentLoans.Youshouldwriteatleast150

患者，男，43岁。体检发现左肾上腺肿物4天。患者4天前B超发现左中上腹肿物，边界尚清，形态欠规则，不伴头痛、头晕，不伴心悸、视物模糊。查体：BP111/66mmHg。该病最适合的检查方法是

汉德森-海森巴赫(Henderson-Hasselbalch)方程(HH方程)对弱有机酸药物的方程式是

民用住宅楼梯的坡度范围,宜在()之间。

下列设置内容中属于报表单元格的有()。

建设法规的作用包括()。

社会工作者在走访中发现，不少光荣院的孤老都对以往的军旅生涯记忆犹新，对现在的生活却没有信心。社会工作者很担心，于是计划运用人生回顾方法来帮助这些光荣院的孤老，目的在于协助他们()。

王老师由于住房分配和职称评定问题对校领导有意见，总觉得校领导故意针对他，因此他课上总是带着情绪。关于王老师的行为，下列说法错误的是()。