A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

admin2018-09-25 85

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为｜A｜中元素a_ij的代数余子式，试证明：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E，且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij，不全为0，所以 [*] 而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，于是｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以 [*] 在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=1，故A^TA=E．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

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考研数学一

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A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式，试证明： (1)aij=AijATA=E，且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E，且｜A｜=－1．

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