设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫01xf’(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

admin2014-11-26  45

问题 设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫01xf’(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

选项

答案由分部积分,得 ∫01f’(x)dx=xf(x)|01-∫01f(x)dx=一∫01f(x)dx=2,于是∫01f(x)dx=一2.由拉格朗日中值定理,得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x—1),其中η∈(x,1),f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分,得|f(x)dx=|f’(η)(x一1)dx=一2.因为f’(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上取到最小值m和最大值M, 由M(x一1)≤f’(η)(x一1)≤m(x一1)两边对x从0到1积分,得[*]即m≤4≤M,由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.

解析
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